이런! 행사용으로 정사각형 모양 케이크를 주문했는데,
담당자의 실수로 정삼각형 모양 케이크가 배송됐습니다!
과연 시말서를 쓰지 않고 문제를 잘 넘어갈 수 있을까?
정답은 Yes!
이런 모양으로 케이크를 잘라 재조합한뒤 생크림을 다시 펴바르면
티 안나게 정사각형 모양 케이크로 감쪽같이 만들 수 있음
이번엔 실수로 정육각형 모양 케이크가 배송왔다!
이번에도 문제를 해결할 수 있을까?
정답은 이번에도 Yes!
정육각형도 잘 잘라서 조합하면 정사각형을 만들 수 있음
여기서 수학자들이 떠올린 한 가지 의문:
과연 임의의 다각형을 유한 번 잘라서 넓이가 같은 임의의 다른 다각형을 만들 수 있을까?
임의의 다각형을 잘라 임의의 다각형을 만드는 방법을 일일히 구하는 건 불가능하니까,
대신 중간 지점으로 쓸 표준 직사각형을 생각해보자
표준 직사각형은 한 변의 길이가 1인 직사각형임
아무 다각형이나 골라서 잘 잘라 붙여 표준 직사각형을 만들 수 있으면,
거꾸로 표준 직사각형을 잘 잘라서 다각형을 만드는 것도 가능할 거야
물론 그걸 어떻게 잘라야 하는지 알아내는 것은 쉽지 않겠지만...
일단 가능한 것만 보이면 되니까
그러면 아무 다각형이나 주어지더라도
아무 다각형 P (넓이: A) → 표준 직사각형 (넓이: A) → 아무 다각형 Q (넓이: A)
이런 식으로 넓이가 같은 모든 다각형을 조립할 수 있겠지?
그럼 이제 잘라보도록 하자
1. 모든 다각형은 삼각형으로 분할 가능하다
이건 그냥 적당히 모서리 잡고 자르면 됨
2. 모든 삼각형은 잘라 붙여 평행사변형으로 만들 수 있다
삼각형의 절반을 자른 다음 뒤집어서 옆에 갖다 붙이면
모든 삼각형은 평행사변형을 만들 수 있음
밑변이나 높이가 얼마인지는 아직 안 중요하니까 걱정 ㄴㄴ
3. 모든 평행사변형은 밑변의 길이가 같은 직사각형으로 만들 수 있다
마찬가지로 세로로 수직으로 자른 후에 마주보는 평행선 부분을 붙이면 되겠지?
오른쪽 그림과 같이 심하게 기울어진 평행사변형도
자르는 선을 살짝 기울여서 잘라 붙이는 것을 여러 번 반복하면
항상 직사각형을 만들 수 있음
이제 우리는 크기가 천차만별인 여러 개의 직사각형을 갖고 있으니까,
이걸 잘 잘라서 길이가 1인 직사각형들로 만든 다음에 이어 붙이자
일단 직사각형들을 대각선으로 잘라서 두 개의 직각삼각형을 만들거야
4. 모든 직각삼각형은 밑변이 2인 직각삼각형으로 잘라 붙일 수 있다
사진에서 보는 것처럼, 꼭짓점을 기준으로 기준선을 그은 다음에
그림처럼 잘라 뒤집어 붙이면 밑변이 2인 직각삼각형을 만들 수 있음
이제 이걸 세로로 자른 다음에 다시 갖다 붙이면
밑변의 길이가 1인 직사각형을 만들 수 있겠지?
따라서 모든 다각형은 표준 직사각형으로 잘라 붙일 수 있다는 것을 알았으니까,
잘 자른다면 표준 직사각형에서 임의의 다각형을 만드는 것도 가능하다!
따라서 임의의 다각형을 유한 번 잘라서 넓이가 같은 임의의 다른 다각형을 만들 수 있다!
원형 케이크가 오면? 그럼 다시 사야지 뭐...
+ 참고로 정사면체를 잘라서 정육면체를 만들 수는 없다는 것은 1900년에 막스 덴(Max Dehn, 1878~1952)이 증명했음
힐베르트의 23가지 문제 중 하나였는데, 목록이 발표된 같은 해 증명이 완료됨
